Jogos de lápis e papel - I: O Erdös latino

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Por Jorge Nuno Silva

 

Há muitos e bons jogos que, para a sua prática, só exigem lápis e papel. Hoje falaremos de um que, apesar de nome húngaro, é de criação lusa.

Todos sabem a regra básica do Sudoku: não pode haver repetição em linhas ou colunas. É a chamada regra dos quadrados latinos, mas não mencionaremos Euler de novo.

O nosso jogo, para duas pessoas (ou duas equipas), desenrola-se num tabuleiro quadrado 5x5.

 

A black rectangle with a black backgroundDescription automatically generated with low confidence

 

Os jogadores alternam introduzindo um numeral de 1 a 5 num quadrado livre, segundo a regra básica dos quadrados latinos (não pode repetir-se o mesmo numeral, quer em linhas, quer em colunas).

Vejamos um exemplo de um jogo possível, após cinco jogadas:

 

A black rectangle with a black backgroundDescription automatically generated with low confidence

 

Se algum jogador não conseguir jogar, por não poder cumprir a nossa regra, perde.

Isto pode suceder. Na figura abaixo, não é possível a nenhum numeral ocupar a casa assinalada. O jogo em curso terminará necessariamente sem o preenchimento de todo o tabuleiro.

 

A red moon in the skyDescription automatically generated with low confidence

 

Se o tabuleiro ficar completamente preenchido, declara-se o empate.

O jogo descrito já é bem interessante. Desafiamos os leitores a dedicarem-lhe algum do seu tempo livre.

Há, contudo, uma variante, baseada num teorema do célebre matemático Erdös, que é ainda mais apelativa. Só se distingue do anterior no caso de o tabuleiro ficar totalmente preenchido.

Imaginemos os dois jogadores, A e B, sentados em lados opostos de um tabuleiro 5x5 que se encontra preenchido com numerais 1-5, sem repetições em linha ou coluna. Por exemplo,

ShapeDescription automatically generated with medium confidence

Cada coluna contém os cinco numerais. Agora reparem: a primeira coluna (a da esquerda) contém uma sequência de comprimento 3 que é crescente de A para B (1-3-5, por exemplo); a segunda também (2-3-5); a terceira contém uma crescente de A para B (1-3-5), mas também de B para A (2-3-4); a quarta contém uma crescente de B para A (1-2-4), assim como a quinta (3-4-5). Acaso? Talvez, mas o teorema referido garante a existência de uma (pelo menos) sequência monótona de comprimento 3 em cada conjunto de cinco números diferentes.

Assim, criamos uma nova regra desempate para o caso de o jogo terminar com o tabuleiro cheio, baseada no seguinte procedimento. Quando, ao inscrever um numeral, um jogador forma uma sequência monótona de comprimento 3, a respectiva coluna é dita pertencer a A, se a sequência cresce de A para B, ou a B se cresce de B para A (independentemente de quem fez a jogada). Assim, está matematicamente garantido que as cinco colunas terão dono. Como são em número ímpar, já não pode haver empate!

De novo, convidamos os leitores à prática deste jogo. Basta subtrair uns minutos ao tempo gasto na www... Ou, alternativamente, usem a rede para aceder a https://nrich.maths.org/14402, onde podem jogar com a máquina, em ambiente mais apelativo, principalmente para os mais novos!

 

O autor poderá ser contactado através do e-mail jnsilva@cal.berkeley.edu
Publicado/editado: 26/02/2021