Schubfachprinzip über alles

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Jorge Nuno Silva

 

Em tempo de férias, muitos preferem problemas de abordagem mais simples. Naturalmente, vou corresponder a esses anseios com algumas questões singelas, mas elegantes.

Provavelmente, motivarão maior volume de correio eletrónico do que o habitual. Tudo bem, todas as mensagens serão bem-vindas e respondidas!

Bom, comecemos com um problema que muitos conhecerão já. Pede-se para provar que 2021 tem um múltiplo que se escreve só com 1s (na base 10, naturalmente). Mudo de parágrafo para dar tempo a pensar àqueles que nunca tenham visto a questão.

Abordemos o problema, mais simples, de descobrir um número destes que seja múltiplo de 3. Pensemos nos quatro números 1, 11, 111, 1111. 1 e 1111 deixam resto 1 quando divididos por 3. Logo, a sua diferença é um múltiplo de 3. Isto é, 1110 é múltiplo de 3. Como 3 e 10 são primos entre si, 111 também é múltiplo de 3.

Consideremos então os números 1, 11, 111, etc. até ao que se escreve com dois mil e vinte e dois 1s. Dois deles deixarão o mesmo resto quando divididos por 2021 (Porquê? Ver a Newsletter de Abril...) Sendo assim, a diferença positiva desses dois números é um múltiplo de 2021. Podem contestar que tal número termina numa cauda de zeros. Certo, mas como 2021 é primo de 10, podemos prescindir desses 0s. O que sobrar, um número formado somente por 1s, tem de ser múltiplo de 2021.

Passemos então às questões para levar para a praia.

1. Mostre que existe uma potência de 3 que termina em 001 (sim, em base decimal).

2. Vou colocar num tabuleiro quadrado 3x3 nove números naturais diferentes de tal forma que dois números vizinhos (isto é, números que partilham uma aresta) quaisquer não distam mais de três unidades um do outro.

 

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Peço agora para mostrar que não é possível encontrar cem números naturais distintos para preencher uma tabela semelhante, 10x10, em que números vizinhos distem uns dos outros, no máximo, cinco unidades.

 

3. Já que estamos em maré de deixar escolher números à vontade, proponho ao leitor que escolha 52 números naturais diferentes. Aposto que os quadrados de dois deles diferem por um múltiplo de 100. Ganhei a aposta?...

4. Dados três segmentos no plano, podemos formar um triângulo. Bem, nem sempre. Eis um exemplo que funciona bem (segmentos de comprimentos, 2, 3 e 4).

 

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Às vezes, contudo, as coisas funcionam menos bem, porque os comprimentos podem ser demasiado desproporcionados, como na ilustração abaixo

 

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Os comprimentos 1, 2 e 7 representam um falhanço.

A questão que aqui deixo é a seguinte: suponhamos que temos sete segmentos, cujos comprimentos estão entre 1 e 10 centímetros (isto é, nenhum segmento mede menos de 1 ou mais de 10 cm). Mostre que é possível seleccionar três segmentos que formam um triângulo.

 

Boa praia!

 

O autor poderá ser contactado através do e-mail jnsilva@cal.berkeley.edu
Publicado/editado: 09/08/2021