Schubfachprinzip

.

Por Jorge Nuno Silva

 

O Princípio das Gavetas, que Dirichlet usou no século XIX para provar um resultado de Teoria dos Números, tem um enunciado singelo: Se colocarmos n+1 objetos em n gavetas, então pelo menos uma gaveta conterá mais do que um objeto.

Com um enunciado desta elegância, não admira que sejam muitas as suas aplicações na nobre arte de entreter matematicamente.


Alguns exemplos são conhecidos de todos. Por exemplo, pode provar-se matematicamente que há duas pessoas lisboetas (não carecas) com o mesmo número de cabelos? Claro que sim, ninguém tem mais do que 300 000 cabelos, mas há seguramente um número maior de lisboetas com cabelo. Aqui, o argumento identificou as pessoas como objetos e os números de cabelos possíveis com gavetas. Há mais objetos do que gavetas, logo há repetição.


Mais fácil ainda. Numa saca há 20 meias negras (iguais entre si) e 30 meias brancas (iguais entre si). Sem ver, bem às escuras, quantas meias devemos tirar da saca para garantir um par monocromático? (Sugestão: para gavetas, tomar as cores possíveis.)


Imagine um triângulo equilátero de lado 2 cm. Coloque, à sua vontade, cinco pontos distintos sobre ele. Eu aposto que dois deles podem ser cobertos com uma moeda de diâmetro 1 cm. Ganhei a aposta?... Talvez esta imagem ajude

Bom, para aquecimento, chega. Vou agora deixar-lhes com que se entreterem até à próxima Newsletter. Já dei uma ajuda grande, o Princípio das Gavetas é útil na resolução de todas as questões propostas.


1. Será que pode garantir que qualquer poliedro convexo tem duas faces com o mesmo número de lados?


2. Imagine que eu lhe peço que escolha, sem me comunicar, um conjunto de dez números inteiros positivos diferentes menores do que 101. Seja A o conjunto que escolheu. Eu aposto que A tem dois subconjuntos disjuntos cujos elementos somam o mesmo. Ganhei a aposta?...


3. Estamos no espaço tridimensional habitual, munido do seu referencial ortonormado. Há pontos que têm coordenadas inteiras, como o (1,3,17). Dados dois pontos de coordenadas inteiras, o segmento que definem pode, ou não, conter algum ponto de coordenadas inteiras. Pergunto: qual é o maior número de pontos com coordenadas inteiras que podemos escolher, cujos segmentos não contêm nenhum outro ponto do mesmo tipo?


4. Numa folha de papel estão escritos, na mesma linha, 42 números inteiros positivos (diferentes ou não). Mostre que podemos inserir entre eles os símbolos de soma, multiplicação e parênteses, de forma a que o cálculo assim definido represente um número que termina em, pelo menos, seis zeros.

 

O autor poderá ser contactado através do e-mail jnsilva@cal.berkeley.edu

 

Publicado/editado: 08/04/2021