Sem Recurso à Calculadora

.

Por Jorge Nuno Silva

 

Agora que estamos a desconfinar, chegou a altura de apreciar a natureza, o ar livre, de desligar os portáteis, tablets e demais gadgets e apreciar o prazer puro das coisas simples. Assim, os problemas que proponho hoje só são interessantes se forem atacados com lápis e papel, nada mais.

Comecemos por um tema primeiro, os primos. Que escondem muitos mistérios, todos sabem. Por exemplo, o grande Fermat cuidava que os números da forma

eram sempre primos. De facto,

 , 

 

são primos, mas Euler mostrou que 641 divide .

 

Isto foi aperitivo para a minha primeira pergunta de hoje. O seguinte número é primo?

 

 

Insisto: para resolver os problemas de hoje, não é necessário ser especialista de nenhuma área particular nem usar maquinaria electrónica. Tudo se faz com boas ideias, lápis e papel!

 

Na matemática recreativa surgem muitos problemas numéricos, como o de terminar o último dígito de

 

 

que costumam resolver-se com simples aplicações de propriedades das congruências. Trago duas questões algo diferentes. Primeira, determine o primeiro dígito, após a vírgula, do número

 

Segunda, sejam a, b, c, d quatro números naturais diferentes, todos maiores do que 1. Será que pode acontecer a igualdade abaixo?

 

 

Nos cursos de Cálculo Infinitesimal, aprendemos a calcular limites de expressões bizarras, elaboradíssimas. Alguns teoremas permitem simplificar as expressões e levar o barco a bom porto. Contudo, há muitos anos atrás, mão amiga fez-me chegar um problema de limites, com o seguinte comentário: havia gente no século xvii capaz de resolver isto em poucos minutos, mas os alunos universitários de hoje não conseguem... Aqui o partilho convosco.

 

 

O autor poderá ser contactado através do e-mail jnsilva@cal.berkeley.edu
Publicado/editado: 07/05/2021